区块链 - 比特币加密算法之椭圆曲线-白红宇

区块链 - 比特币加密算法之椭圆曲线

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发布时间：2019-02-28

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椭圆曲线加密算法是密码学中的核心技术，特别是在比特币系统中，椭圆曲线乘法（ECDSA）是私钥生成和公钥签名的基础。比特币选择了secp256k1曲线，这是一种特定的椭圆曲线参数，结合了优化的数学常数。

椭圆曲线是一种满足方程 ( y^2 = x^3 + ax + b ) 的点集，其中：

( x ) 和 ( y ) 是实数坐标。

( a ) 和 ( b ) 是常数，满足 ( 4a^2 - 27b^3 \neq 0 )。

包含无穷远点（定义为0）。

椭圆曲线的形状根据 ( a ) 和 ( b ) 的值有所不同。比如，secp256k1曲线是一个经过优化的椭圆曲线，适合于高安全性的加密应用。

椭圆曲线加法是基于几何意义上的加法，涉及曲线上的点和直线交点。假设一条直线与椭圆曲线交于三个点 ( P, Q, R )，则有 ( P + Q = R )（其中 ( R ) 是无穷远点）。具体操作如下：

当 ( Q ) 是无穷远点时，( P + Q = P )。

当 ( P ) 和 ( Q ) 关于X轴对称时，( P + Q = 0 )。

当 ( P ) 和 ( Q ) 不是对称点时，( P + Q ) 会是另一个点 ( R )。

当 ( P = Q ) 时，( P + P = -R )，即 ( 2P = -R )。

椭圆曲线上的点数乘是通过倍乘法实现的。例如，计算 ( 8G ) 可以通过连续的加法得到，但这会导致大量计算。倍乘法通过以下步骤优化：

计算 ( -2G )（即过 ( G ) 做切线的交点）。

将 ( -2G ) 上下翻转，得到 ( 2G )。

重复类似步骤计算 ( 4G, 8G ) 等。

为了实现离散的点集，椭圆曲线的方程在有限域 ( \mathbb{F}_p ) 上进行模运算，其中 ( p ) 是质数。椭圆曲线上的点 ( (x, y) ) 满足：[ y^2 = x^3 - 7x + 10 \mod p ]

不同质数 ( p ) 会产生不同的有限域椭圆曲线，点数随着 ( p ) 的增大而增加。例如，当 ( p = 3 ) 时，椭圆曲线上的点集非常有限。

在有限域椭圆曲线中，直线方程为：[ y = mx + b \mod p ]其中 ( m ) 是斜率，( b ) 是截距。直线与椭圆曲线的交点个数决定了加法和乘法的性质。

在有限域椭圆曲线中，代数加法通过以下公式进行：[ y = m x + b ]其中 ( m ) 和 ( b ) 是直线参数，用于确定点的位置。

通过以上知识，我们可以理解椭圆曲线在比特币中的重要性，以及其在加密和签名中的具体应用。

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